Plinianische Eruption

Die plinianischen Eruptionen als Teil des vulkanischen Geschehens sind außerordentlich explosive Ausbrüche

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, die mit gewaltigen Aschenfällen verbunden sind. Sie verdanken ihren Namen dem Augenzeugen und Chronisten Plinius dem Jüngeren, der den Ausbruch des Vesuvs und den Untergang von Pompeji und Herculaneum im Jahr 79 n. Chr. in zwei Briefen an den römischen Geschichtsschreiber Cornelius Tacitus beschrieb. Sein Onkel Plinius der Ältere fand bei diesem Ausbruch den Tod.

Innerhalb weniger Stunden können dabei durch die Vulkanschlote einige Kubikkilometer Magma aufsteigen. Der gewaltige Druck und die vehement entweichenden Gase stoßen alte Reste des Pfropfs nach oben, reißen glühende Lavafetzen und Felsbrocken aus der Kraterwand mit.

Die Eruption besteht aus zwei Phasen: Zunächst rast der Materialstrom mit einer Geschwindigkeit bis zu mehreren hundert Metern pro Sekunde im Schlot empor und bildet oberhalb des Kraters eine Eruptionssäule, die bis in die Stratosphäre reicht. In großer Höhe kühlt das vulkanische Material ab und „regnet“ als Lapilli auf die Umgebung nieder. In einer zweiten Phase stürzt die Staub- und Aschewolke in sich zusammen und bildet den Ausgangspunkt eines pyroklastischen Stroms. Bei dem namengebenden, von Plinius beobachteten Ausbruch des Vesuvs wurde Pompeji durch den Lapilli-Niederschlag verschüttet, während Herculaneum aufgrund der Windrichtung zunächst verschont, dann aber von den pyroklastischen Strömen begraben wurde. Dies führte zu großen Unterschieden bei der natürlichen Konservierung der beiden antiken Städte. Den zurückbleibenden Einsturzkrater nennt man Caldera.

Es sind sowohl die sogenannten Supervulkane, flache Vulkane über riesigen Magmakammern wie der Yellowstone-Vulkan, als auch die grauen Vulkane, auch als Schichtvulkane bezeichnet, die diesem Ausbruchstyp angehören und unter anderem den Pazifischen Feuerring bilden.

Der Mount St. Helens in Amerika gehört ebenso zu diesem Ausbruchstyp wie der Vesuv in Italien und der Laacher See in der Vulkaneifel.

Wallace-Hadrill, A.: Herculaneum 2012 (Deutsche Ausgabe)

Satz von Jacobi (Zahlentheorie)

Der Satz von Jacobi (nach C. Jacobi) ist eine Aussage aus der additiven Zahlentheorie über die Anzahl der Darstellungen einer natürlichen Zahl als Summe von vier Quadraten.

Der Satz von Jacobi findet unter anderem Anwendung in der geometrischen Zahlentheorie z. B. bei der Bestimmung der Anzahl von Gitterpunkten in einer





n




{\displaystyle n}


-dimensionalen Kugel.

Für jede natürliche Zahl





n




{\displaystyle n}


sei





r


(


n


)




{\displaystyle r(n)}


durch

definiert. Dann ist

wobei





σ



(


n


)




{\displaystyle \sigma (n)}


die Teilerfunktion ist (d.h. die Summe aller Teiler von n einschl. n selbst).

Das lässt sich auch ausdrücken:

oder:

(Summe über die Teiler von n, die nicht durch 4 teilbar sind)

Jacobi fand diesen Satz mit Hilfe der von ihm in seiner Theorie der elliptischen Funktionen eingeführten Thetafunktionen über die Identität:








(








n


=







<
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!– ∞ –>











q




n



2






)





4




=








a


,


b


,


c


,


d







Z






q




a



2




+



b



2




+



c



2




+



d



2






=


1


+


8








m


=


1











(








f






m


,


4






f




f


)




q



m






{\displaystyle {\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\right)}^{4}=\sum _{a,b,c,d\in \mathbb {Z} }q^{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}=1+8\sum _{m=1}^{\infty }\left(\sum _{f\mid m,4\nmid f}f\right)q^{m}}


Die Thetafunktionen auf der linken Seite und die Eisensteinreihe rechts sind beides Modulformen (zur Kongruenzuntergruppe






Γ




1




(


4


)




{\displaystyle \Gamma _{1}(4)}


und Gewicht k=2) und die Identität folgt schon aus der Tatsache, dass der entsprechende Raum der Modulformen eindimensional ist.

Für





n


=


2




{\displaystyle n=2}


ergibt sich aus dem Satz von Jacobi

Es ist

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.w3.org/1998/Math/MathML“>




2


=



0



2




+



0



2




+



1



2




+



1



2




=



0



2




+



0



2




+



1



2




+


(






1



)



2




=



0



2




+



0



2




+


(






1



)



2




+


(






1



)



2




.




{\displaystyle 2=0^{2}+0^{2}+1^{2}+1^{2}=0^{2}+0^{2}+1^{2}+(-1)^{2}=0^{2}+0^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}.}


Mit Hilfe des Multinomialkoeffizienten berechnet man die Anzahl der Permutationen der Tupel





(


0


,


0


,


1


,


1


)


,


(


0


,


0


,


1


,






1


)




{\displaystyle (0,0,1,1),(0,0,1,-1)}


bzw.





(


0


,


0


,






1


,






1


)




{\displaystyle (0,0,-1,-1)}


: Für





(


0


,


0


,


1


,


1


)




{\displaystyle (0,0,1,1)}


gibt es








4


!




2


!






2


!





=


6




{\displaystyle {\frac {4!}{2!\cdot 2!}}=6}


Permutationen, für





(


0


,


0


,


1


,






1


)




{\displaystyle (0,0,1,-1)}


sind es








4


!




2


!






1


!






1


!





=


12




{\displaystyle {\frac {4!}{2!\cdot 1!\cdot 1!}}=12}


und für





(


0


,


0


,






1


,






1


)




{\displaystyle (0,0,-1,-1)}


gibt es








4


!




2


!






2


!





=


6




{\displaystyle {\frac {4!}{2!\cdot 2!}}=6}


Permutationen, insgesamt also





6


+


12


+


6


=


24




{\displaystyle 6+12+6=24}


mögliche Tupel.